OPERASI BILANGAN

A.  Sistem Bilangan Real

1. Macam-macam bilangan

1).    Bilangan asli, yakni himpunan semua bilangan yang disajikan dalam himpunan A berikut.

A = {1, 2, 3, …………}

2).    Bilangan cacah, yakni himpunan semua bilangan yang disajikan dalam himpunan C berikut.

C = {0,1, 2, 3, …………}

3).    Bilangan bulat, yakni himpunan semua bilangan yang disajikan dalam himpunan B berikut.

B = {…….., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ………..}

4).    Bilangan rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan , a dan b bilangan bulat.

Himpunan semua bilangan rasional biasa ditulis Q = {| a, b Є B dan }.

Jadi himpunan bilangan rasional meliputi semua bilangan bulat, pecahan sejati, dan pecahan tidak sejati (campuran).

5).    Bilangan irrasional

Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai bilangan pecahan atau bilangan yang bukan bilangan rasional.

6).    Bilangan Real

Himpunan semua bilangan real merupakan gabungan semua bilangan rasional dan himpunan bilangan irrasional. Bvilangan real dilambangkan dengan huruf R.

2. Operasi hitung pada bilangan bulat

a.       Penjumlahan dan pengurangan pada bilangan bulat

Menjumlahkan dan mengurangkan bilangan bulat disebut dengan operasi penjumlahan dan pengurangan pada bilangan bulat.

Misalnya:

Tentukan penjumlahan dan pengurangan berikut ini!

1).    78 + (- 128) = …..

2).    246 + (-754) = ………..

3).    -869 – 653 = ………

4).    -594 + {(-563) - (-248)} = ……..

b.      Perkalian dan pembagian pada bilangan bulat

Perkalian dua buah bilangan bulat a dan b didefinisikan sebagai berikut.

a x b = b + b + b + ……. + b.

                 (sebanyak a suku)

Pembagian bilangan bulat a oleh bilangan b, dengan b   0, ditulis a : b. Dengan demikian pembagian adalah terdapat bilangan c sehingga a = b x c.

Latihan:

Selesaikan soal-soal berikut:

1).    (-8) x 18 = ………

2).    (-12) x (-20) = …….

3).    45 x (-16) = ……….

4).    8 x 12 : (-6) = ……

5).    -876 : (-6) x 14 = ………

3. Operasi hitung pada bilangan pecahan

a.       Penjumlahan dan pengurangan pada bilangan pecahan

Penjumlahan dua bilangan pecahan  dan  dilakukan dengan cara  + = dengan c0 dan d 0.

Contoh:

1).   

2).   

b.      Perkalian dan pembagian pada bilangan pecahan

Perkalian dua bilangan pecahan campuran dapat dikerjakan dengan mengubah dua bilangan tersebut menjadi bilangan pecahan murni. Selanjutnya dapat diselesaikan dengan cara mengalikan pembilang dan penyebut dengan penyebut.

Contoh:

1).   

2).   

Pada contoh nomer 2 diperoleh bahwa setiap bilangan bulat a dapat dinyatakan sebagai  dan  dengan c0.

Jika bilangan pecahan campuran dibagi oleh bilangan pecahan campuran dapat dikerjakan dengan mengubah dua bilangan pecahan campuran menjadi pecahan murni. Selanjutnya diselesaikan seperti pada pembagian pecahan murni yaitu:

Contoh:

1).   

2).   

Sifat-sifat pembagian:

1.      Jika a, b, dan c bilangan-bilangan bulat, b 0,dan c0, maka

2.      Jika a, b, dan c bilangan-bilangan bulat, b 0,dan c0, maka

4. Konversi bilangan

Setiap bilangan rasional dapat dituliskan dalam bentuk bilangan lain. Bentuk-bentuk tersebur antara lain:

1).    Pecahan (murni atau campuran)

Contoh: , dan sebagainya

2).    Pecahan decimal

Contoh: 0,5; 0,125; 3.75; dan sebagainya

3).    Persen

Contoh: 50%, 12,5%, 375%; dan sebagainya

Untyuk merubah bilangan rasional dari bentuk satu kebentuk yang lain, perhatikan contoh berikut ini:

1.      Ubahlah bentuk persen kebentuk decimal dan pecahan.

a).                                        b). 125 %

Penyelesaian:

a).     (bentuk pecahan)

b).    (bentuk decimal)

           = bentuk pecahan

2.      Ubahlah bentuk pecahan kebentuk decimal dan persen.

a).                                    b). 

Penyelasaian:

a).    (dalam bentuk decimal)

   = (dalam bentuk persen)

b).    (dalam bentuk decimal)

  (dalam bentuk persen)

5. Perbandingan, Skala, dan Persen

Perbandingan

a.       Perbandingan senilai dan berbalik nilai

Perhatikan contoh berikut:

1.      Amat mengendarai mobil dengan kecepatan tetap dan menempuh jarak 156 km dalam waktu 3 jam. Berapakah waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak 234 km?

Penyelesaian:

Jadi diperlukan waktu 4,5 jam untuk menempuh jarak 234 km.

2.      Badrun membeli 20 batang peralon yang masing-masing panjangnya 4 m dengan diameter 1 inci. Jika harga 6 batang peralon tersebut adalah Rp.135.000,00 berapakah badrun harus membayar untuk 20 peralon tersebut?

Penyelesaian:

Jadi badrun harus membayar Rp.450.000,00 untuk 20 batang peralon.

Dari contoh diatas merupakan contoh dari perbandingan senilai. Perbandingan senilai adalah perbandingan dua buah bilangan atau besaran yang mempunyai kelipatan sama.

Sedangkan perbandingan berbalik nilai adalah jika dua buah bilangan atau besaran yang dibandingkan nilainya saling berkebalikan.

Seperti contoh berikut:

Seorang pemborong membuat saluran sepanjang 1 km. jika dikerjakan 10 orang, pekerjaan itu akan selesai pada waktu 10 hari dan jika dikerjakan 20 orang, akan selesai dalam waktu 5 hari. Artinya jika banyaknya pekerja dikalikan dengan satu bilangan, maka waktu penyelkesaian pekerjaan dibagi dengan bilangan itu.

Jika ditulis dalam bentuk perbandingan antara pekerja dan waktu penyelesaian pekerjaan maka di peroleh perbandingan 10 ; 20 dan 10 : 5.

Jadi 10 : 20 = 10 : 5 berbslik nilsi dengan 10 : 5 = 2 : 1

Contoh:

1.      Kemarin cici bersepeda kesekolah selama 45 menit dengan kecepatan rata-rata 20 km/jam. Hari ini cici bersepeda kesekolah hanya dalam waktu 30 menit, berapakah kecepatan hari ini?

Penyelesaian:

Jadi kecepatan rata-rata hari ini adalah 30 km/jam.

2.      Berapa hari yang dibutuhkan oleh 25 orang untuk menyelesaikan suatu pekerjaan, jika 20 orang dapat menyelesaikan pekerjaan itu selama 50 hari?

Penyelesaian:

Missal pekerjaan itu dapat diselesaikanselama x hari, maka:

Jadi butuh waktu 40 hari untuk menyelesaikan pekerjaan itu.

Skala

Skala ialah bentuk perbandingan senilai dari ukuran suatu besaran. Misalnya skala pada peta tertulis 1 : 1.000.000 artinya ukuran 1 cm pada peta mewakili 1.000.000 cm = 10 km pada ukuran sebenarnya.

 Untuk penulisan skala yang satuan atau besarannya tidak sejenis, ditulis dengan mencatumkan satuan-satuannya. Misalnya: 1 cm panjang ukuran pada gambar menyatakan gaya 100 N, ditulis 1 cm : 100 N.

Contoh:

1.    Pada gambar skala berbentuk empat persegi panjang dengan skala 1 : 100, ukuran empat persegi panjang pada gambar yaitu panjang 8,9 cm dan lebar 5,7 cm. berapa ukuran empat persegi panjang sesungguhnya?

Jawab.

Skala 1 : 100 artinya ukuran 1 cm pada gambar mewakili 100 cm ukuran sesungguhnya. Jadi ukuran empat persegi panjang sesungguhnya adalah panjang 8,9 x 100 cm = 890 cm dan lebar 5,7 x 100 cm = 570 cm.

2.    diameter lobang berbentuk sebuah lingkaran pada gambar adalah 7,5 cm. jika skala gambar adalah 5 : 1, tentukan ukuran diameter lobang sesungguhnya.

Jawab:

Skala 5 : 1 artinya ukuran 1 cm pada gambar mewakili  cm ukuran sebenarnya. Jadi ukuran lobang sesungguhnya adalah 7,5 x  =1,5 cm

Persen

Persen adalah bentuk lain dari pecahan yang penyebutnya seratus dan ditulis dengan %. Misalnya 10 % artinya .

Contoh:

1.      Hitunglah

a.       20 % dari Rp.750.000,00

b.      12,5% dari 1200 gram

Jawab:

a.       20 % dari Rp.750.000,00

= x Rp.750.000,00 = Rp.150.000,00

b.      12,5% dari 1200 gram

= x 1200 gram = 150 gram

2.      tentukan persentase keuntungan dari hasil penjualan sebuah daun pintu dari pohon kayu jati berukuran panjannng 200 cm, leber 90 cmdan tebal 4 cm, jika diketahui biaya produksi Rp.450.000,00 dan hasilpenjualan Rp.600.000,00.

Jawab:

Keuntungan = Rp.600.000,00 - Rp.450.000,00 = RP.150.000,00

Persentase keuntungan

=